据说今年成都中考数学很难：2018成都中考题选

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【4】（填空题）（2018成都中考）

‍

【解析】

由此可见，6个数为一个循环，所以：

【点评】此题属于找规律，傻傻地写道S7规律就出来了，难度一般。

‍【5】（填空题）（2018成都中考）如图，在菱形ABCD中，tanA=4/3，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BN：CN的值为（      ）。

‍【解析】延长EF，交BC于点G（如图5-1），

则∠A=∠E=∠C=∠FNG，

∠EDM=∠DGC=∠FGN=90º，

设AM=25m，则EM=25m，

∵tanA=4/3，

∴DM20m，ED=15m，

∴AD=AB=EF=45m，DF=30m，

∴CG=27m，DG=36m，FG=6m，GN=8m，

∴BN=45m-27m-8m=10m，

∴BN∶CN=10∶35=2/7。

【点评】碰到三角函数就要寻找直角三角形，并找出三边比例关系，按套路傻傻地走，结果就出来了，难度一般。

‍【6】（2018成都）（填空题）设双曲线y=k/x(k>0)与直线y=x的图像交于A、B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”。当双曲线y=k/x的“眸径”为6时，k的值为（     ）

‍【解析】因为A、B在y=k/x和y=x上，所以A（-√k，-√k），B（√k，√k）；

将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，经过点A时其解析式为：

将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，经过点B时其解析式为：

‍联立方程组（1）（2），解得：

‍∴P（-√（3k），√（3k）），

∵PQ=6，

∴OP=3，

∴√（3k）·√2=3，

解得：k=3/2。

【点评】此题有创意，实质是对函数解析式及其图像的认识，在图像平移后解析式的关联关系，知识点有些扩散，有一点难度。

‍【7】（解答题）（2018成都）（解答题）在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=√7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A、B的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P、Q。

（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；

（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；

（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由。

【解析】（1）在△A′BC中：A′C=CA=2，BC=√3，

∴A′B=1，∠BA′C=60º，∠ACA′=60º；

（2）∵M为A′B′的中点，

∴MA′=MB′=MC，∠MA′C=∠MCA′，

∴∠PQC=∠BCP=∠MA′C，

∴△CA′B′∽△CQP∽△BCP∽△BCQ，

∵BC=√3，

∴PB=√3·√3/2=3/2；

BQ=AC=2，∴PQ=7/2；

（3）设四边形PA′B′Q的面积为S，

则S=S_△PCQ-S_△CA′B′=PQ·BC÷2-2·√3÷2=(√3/2)·(PB+BQ)-√3，

∵PB·BQ=BC²=3，PB+BQ≥2√（PB·BQ），

∴S≥(√3/2)·2√（PB·BQ）-√3

=(√3/2)·2√3-√3

=3-√3，

所以当PB=BQ时，S最小，最小值为3-√3.

【点评】旋转动态问题，搞清楚状态，列出相应关系式求解结果，属于“体制内”标准题型，有一些难度。

【8】如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=5/2为对称轴的抛物线y=-ax²+bx+c与直线l：y=kx+m(k>0)交于点A（1，1），B两点，与y轴交于点C（0，5），直线l与y轴交于点D。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若AF：FB=3/4，且△BCG与△BCD的面积相等，求点G的坐标；

（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90º，求k的值。

【解析】（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，5），

∴c=5；

∵抛物线经过点A（1，1），

∴a+b+5=1；……①

∵对称轴为x=5/2，

∴-b/2a=5/2，即b=-5a，代入①式：a+(-5a)+5=1，

得：a=1，

∴b=-5，故抛物线解析式为：

y=x²-5x+5；

（2）过点A作AM⊥对称轴于点M，过点B作BN⊥对称轴于点N（如图8-1）。

∵AF：FB=3/4，∴AM∶BN=3∶4，

∵AM=5/2-1=3/2，

∴BN=2，即点B的横坐标为2+5/2=9/2；

B的纵坐标为：（9/2）²-5×9/2+5=11/4，

∴B（9/2，11/2）；

将A、B坐标代入l解析式：

k+m=1；

9k/2+m=11/4，

解得：k=1/2，m=1/2，

∴D（0，1/2）；

直线BC：y=[(11/4-5)/(9/2-0)]x+5，

整理得：y=-x/2+5；

设点D关于点C的对称点为D′，则 D′（0，19/2）。

∵△BCD和△BCG有公共边BC，

∴点G在过点D或D′，平行线于BC的直线上。

分别作DG1∥BC，D′G2∥BC，G1、G2在抛物线上（如图8-2）。

DG 1解析式：y=-x/2+1/2，与y= x²-5x+5联立，

解得：x1=3/2，x2=3，

∵G在对称轴右侧，

∴x=3，y=-1，

∴G1（3，-1）；

D′G2解析式：y=-x/2+19/2，与y= x²-5x+5联立，

解得：

x1=(9+3√17)/4，x2=(9-3√17)/4（舍去），

∴x=(9+3√17)/4，y=(67-3√17)/8，

∴G2（(9+3√17)/4，(67-3√17)/8）。

综上所述，点G的坐标为：

（3，-1）；或（(9+3√17)/4，(67-3√17)/8）。

（3）∵在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90º，

∴以AB为直径的圆与x轴相切，取AB中点Q，作QP⊥x轴，垂足为P，过点A作AK⊥x轴于点K，过B作BR⊥x轴于点R，构造“三垂直模型”（如图8-3）。

设B（p，q），则Q（（1+p）/2，（1+q）/2），

P（（1+p）/2，0），K（1，0），R（p，0），

根据“三垂直模型”的性质（关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（五）），

△AKP∽△PRB，AK∶RP=KP∶BR，

∴ 1∶（p-(1+p)/2）=((1+p)/2-1)∶q，

化简，得：

q=[(p-1)/2]²，

∴[(p-1)/2]²= p²-5p+5，

解得：p1=2，p2=4；

当p=2时，q=1/4＜1，k＜0，与题中条件k＞0矛盾，

∴B（4，9/4），代入直线l解析式：

4k+m=9/4；

又直线l过A（1，1），

∴k+m=1，

联立方程组，解得：k=5/12。 

【点评】“体制内”有“创新”！对于（2），关键是弄清楚AF：FB=3/4的用途，因为是比例关系，所以要构建“平行模型”，因为是面积相等，所以要构建“等底等高”的三角形；对于（3），审题关键：所有的使∠APB=90º的点P必定在以AB为直径的圆上，“唯一的交点P”就是该圆与x轴相切，弄清楚这个后，再依靠强大的“三垂直”模型就轻松愉快的完成解答了。有一定难度。

【小学奥数园地】老师带99名同学种100棵树，老师先种一棵，然后对同学们说：“男生每人种两棵，女生每两人种一棵。”说完把99棵树苗分给了大家，正好把树苗分完。则男生、女生各多少名？

（上期参考）：原题少一个已知条件：OA=OC，加上该条件，则人工湖面积为：2×2-3×2-6.92=3.08（平方千米）

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